電源集中有多少元素？
集合a的冪集是a的所有子集的集合。當(dāng)使用具有n個(gè)元素的有限集合時(shí)，我們可能會(huì)問(wèn)的一個(gè)問(wèn)題是：“在a的冪集中有多少個(gè)元素？“我們將看到這個(gè)問(wèn)題的答案是2n，并在數(shù)學(xué)上證明為什么這是真的。
16觀察模式17 18
我們將通過(guò)觀察a的冪集中元素的數(shù)量來(lái)尋找一種模式，其中a具有n元素：
- 30>如果A={{}（空集），那么A沒(méi)有元素，但P（A）={{{{}}}A沒(méi)有元素，但P（A）
- 如果A={{A}，那么AA 有一個(gè)元素，P（A）P（A）
- 如果AA={{{A，b}（空集），那么AAA A沒(méi)有元素，如果AA={A，b}，b}，那么A有兩個(gè)元素，P（A）={{}，{A}，，{A，b}}，具有兩個(gè)元素的集合。
在所有這些情況下，很容易看出，對(duì)于具有少量元素的集合，如果在a中存在有限數(shù)量的n元素，則冪集P（a）具有2n元素。但是這種模式是否繼續(xù)？?jī)H僅因?yàn)?em>n=0,1和2的模式是真的并不一定意味著該模式對(duì)于n的較高值是真的。
但是這種模式確實(shí)在繼續(xù)。為了證明情況確實(shí)如此，我們將使用歸納證明。
歸納證明
歸納證明對(duì)于證明有關(guān)所有自然數(shù)的陳述很有用。我們分兩步實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)。第一步，我們通過(guò)顯示我們希望考慮的n的第一個(gè)值的真實(shí)陳述來(lái)錨定我們的證明。我們證明的第二步是假設(shè)語(yǔ)句保持n=k，并且表明這意味著語(yǔ)句保持n=k+1。
另一個(gè)觀察ation
為了幫助我們證明，我們需要另一個(gè)觀察。從上面的例子中，我們可以看到P（{a}）是P（{a，b}）的子集。{a}的子集正好是{a，b}子集的一半。我們可以通過(guò)將元素b添加到{a}的每個(gè)子集來(lái)獲得{a，b}的所有子集。此集合添加是通過(guò)聯(lián)合的集合操作完成的：
- 空集U=
- {a}U={a，b}
這些是P（{a，b}）中不是P（{a}）元素的兩個(gè)新元素。
我們看到P（{a，b，c}）有類(lèi)似的情況。我們從四組P（{a，b}）開(kāi)始，并向每個(gè)組添加元素c：
- Empty Set U{c}={c}
- {a}U{c}={a，c}
- U{c}={b，c}
- {a，b}U{c}={a，b，c}
因此，我們最終得到P中總共八個(gè)元素（{a，b，c}）。
證明
我們現(xiàn)在已經(jīng)準(zhǔn)備好證明這樣的說(shuō)法：“如果集合142 A 143包含144 n 145個(gè)元素，那么冪集合146 P（A）147有2 148 n 150 151個(gè)元素?！?/p>
我們首先注意到，對(duì)于n=0、1、2和3的情況，已經(jīng)錨定了歸納證明。我們通過(guò)歸納假設(shè)該語(yǔ)句保持k?，F(xiàn)在讓集合A包含n+1個(gè)元素。我們可以寫(xiě)A=BU飲食健康常識(shí){x}，并考慮如何形成A的子集。
我們采用P（B）的所有元素，并且通過(guò)歸納假設(shè)，其中有2n。然后，我們將元素x添加到B的每個(gè)子集，從而得到另外2n的B子集。這耗盡了B的子集列表，因此總數(shù)為2n+2n=2（2n）=2n+1eleA的冪集。
