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集合論有許多思想支持概率。一個(gè)這樣的想法是西格瑪領(lǐng)域。sigma字段指的是我們應(yīng)該使用的樣本空間子集的集合，以建立概率的數(shù)學(xué)形式定義。sigma字段中的集合構(gòu)成了樣本空間中的事件。

Definition

sigma字段的定義要求我們有一個(gè)樣本空間S以及S的子集的集合。如果滿(mǎn)足以下條件，則此子集集合為sigma字段：

如果子集19 A 20在sigma字段中，那么它的補(bǔ)碼21 A 22 C 24也是如此。如果27 A 28是sigma字段中無(wú)限多的子集，那么所有這些集合的交集和并集都在sigma字段中。29

含義

定義意味著兩個(gè)特定的集合是每個(gè)sigma字段的一部分。由于A和A^C都在sigma字段中，因此交點(diǎn)也是如此。這個(gè)交集是空的。因此，空集是每個(gè)sigma字段的一部分。

樣本空間S也必須是sigma字段的一部分。原因是A和A^C的并集必須在sigma字段中。此并集是樣本空間S。

推理

這個(gè)特定集合有用的原因有幾個(gè)。首先，我們將考慮為什么集合及其補(bǔ)充都應(yīng)該是西格瑪代數(shù)的元素。集合論中的補(bǔ)充等同于否定。A的補(bǔ)碼中的元素是通用集中不是A的元素的元素。通過(guò)這種方式，我們確保如果事件是樣本空間的一部分，那么未發(fā)生的事件也被視為樣本空間中的事件。

我們還希望集合的并集和交集在sigma代數(shù)中，因?yàn)椴⒓捎糜趯?duì)“or”一詞進(jìn)行建模。a或B發(fā)生的事件由a和B的并集表示。類(lèi)似地，我們使用交集來(lái)表示單詞“and”。發(fā)生82 A 83和84 B 85的事件由集合86 A 87和88 B 89的交集表示。

物理上不可能與無(wú)限數(shù)量的集合相交。但是，我們可以認(rèn)為這是有限過(guò)程的限制。這就是為什么我們還包括可數(shù)許多子集的交集和聯(lián)合。對(duì)于許多無(wú)限的樣本空間，我們需要形成無(wú)限的并集和交叉點(diǎn)。