Chebyshev不平等工作表
Chebyshev不等式表示，樣本中至少有1-1/K2的數(shù)據(jù)必須落在與平均值K的標準偏差之內(nèi)，其中K是大于1的任何正實數(shù)。這意味著我們不需要知道數(shù)據(jù)分布的形狀。只有均值和標準差，我們才能確定數(shù)據(jù)量與平均值有一定數(shù)量的標準差。
以下是使用不平等的一些問題。
示例#1
一類二年級學生的平均身高為五英尺，標準差為一英寸。班級中至少有多少百分比必須在4'10“和5'2”之間？??
Solution
在上述范圍內(nèi)給出的高度與五英尺的平均高度相差兩個標準差。Chebyshev的不等式表示，至少1-1兒童健康保健知識/22=3/4=75%的班級在給定的高度范圍內(nèi)。
示例#2
發(fā)現(xiàn)來自特定公司的計算機平均持續(xù)三年而沒有任何硬件故障，標準偏差為兩個月。至少有多少百分比的計算機持續(xù)31個月至41個月？
Solution
三年的平均壽命相當于36個月。31個月至41個月的時間與平均值相差5/2=2.5個標準差。根據(jù)Chebyshev的不平等，至少有1-1/（2.5）62=84%的計算機持續(xù)31個月至41個月。
示例#3
培養(yǎng)物中的***均存活3小時，標準偏差為10分鐘。至少有多少部分細菌生活在兩到四個小時之間？
Solution
兩個小時和四個小時距離平均值一小時。一小時對應六個標準偏差。所以至少1-1/62=35/36=97%的細菌存活2至4小時。
示例#4
如果我們要確保我們至少有50%的分布數(shù)據(jù)，那么我們必須去的平均值的最小標準偏差數(shù)是多少？
Solution
在這里，我們使用Chebyshev的不等式并向后工作。我們希望50%=0.50=1/2=1-1/K2。目標是使用代數(shù)來求解K。
我們看到1/2=1/K2。交叉乘以并看到2=K2。我們?nèi)蓚鹊钠椒礁?，由?em>K是許多標準偏差，我們忽略方程的負解。這表明K等于2的平方根。因此，至少50%的數(shù)據(jù)與平均值相差約1.4個標準偏差。
示例#5
公交線路#25平均時間為50分鐘，標準差為2分鐘。該總線系統(tǒng)的促銷海報指出：“總線路線#25的95%時間從??uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu持續(xù)到uuuuuuuuuuuuyminutes?！蹦鷮⒂媚男?shù)字填寫空白？
解決方案
這個問題類似于我們需要解決的**一個問題，K，即與平均值的標準偏差數(shù)。首先設置95%=0.95=1-1/K2。這表明1-0.95=1/K2。簡化為1/0.05=20=K2。所以K=4.47。
現(xiàn)在用上面的條款表達這一點。所有騎行中至少有95%與50分鐘的平均時間相差4.47個標準偏差。將4.47乘以標準偏差2，最終得到9分鐘。所以95%的時間，公交線路?25需要41到59分鐘。
