平均值，中位數(shù)和模式之間的經(jīng)驗(yàn)關(guān)系

在數(shù)據(jù)集中，有各種描述性統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)。平均值，中位數(shù)和模式都給出了數(shù)據(jù)中心的度量，但是它們以不同的方式計(jì)算：

• 通過(guò)將所有數(shù)據(jù)值加在一起，然后除以值的總數(shù)來(lái)計(jì)算平均值。
• 通過(guò)按升序列出數(shù)據(jù)值，然后在列表中找到中間值來(lái)計(jì)算中位數(shù)。
• 通過(guò)計(jì)算每個(gè)值發(fā)生多少次來(lái)計(jì)算模式。頻率**的值是模式。

從表面上看，這三個(gè)數(shù)字之間似乎沒有聯(lián)系。然而，事實(shí)證明，這些中心指標(biāo)之間存在經(jīng)驗(yàn)關(guān)系。

理論與經(jīng)驗(yàn)

在我們繼續(xù)之前，重要的是要了解我們?cè)谔峒敖?jīng)驗(yàn)關(guān)系時(shí)所說(shuō)的內(nèi)容，并將其與理論研究進(jìn)行對(duì)比。統(tǒng)計(jì)和其他知識(shí)領(lǐng)域的一些結(jié)果可以從理論上的一些先前的陳述中得出。我們從我們所知道的開始，然后使用邏輯，數(shù)學(xué)和演繹推理，看看這在哪里引導(dǎo)我們。結(jié)果是其他已知事實(shí)的直接后果。

與理論相比，是獲取知識(shí)的經(jīng)驗(yàn)方式。我們可以觀察周圍的世界，而不是從已經(jīng)確立的原則推理。從這些觀察中，我們可以對(duì)我們所看到的進(jìn)行解釋。大部分科學(xué)都是以這種方式完成的。實(shí)驗(yàn)給了我們經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)。然后目標(biāo)是制定適合所有數(shù)據(jù)的解釋。

經(jīng)驗(yàn)關(guān)系

在統(tǒng)計(jì)中，均值，中位數(shù)和模式之間存在經(jīng)驗(yàn)關(guān)系。無(wú)數(shù)數(shù)據(jù)集的觀察表明，大多數(shù)時(shí)候平均值之間的差異模式是平均值和中位數(shù)之差的三倍。等式中的這種關(guān)系是：

平均模式=3（平均值-中位數(shù)）。

示例

要了解上述與現(xiàn)實(shí)世界數(shù)據(jù)的關(guān)系，我們來(lái)看看2010年的美國(guó)州人口。以百萬(wàn)計(jì)，人口為：加利福尼亞州-36.4，德克薩斯州-23.5，紐約-19.3，佛羅里達(dá)州-18.1，伊利諾伊州-12.8，賓夕法尼亞州-12.4，俄亥俄州-11.5，密歇根州-10.1，格魯吉亞-9.4，北卡羅來(lái)納州-8.9，新澤西州社區(qū)開展健康知識(shí)講座-8.7，弗吉尼亞州-7.6，馬薩諸塞州-6.4，華盛頓州-6.4，印第安納州-6.3，亞利桑那州-6.2，田納西州-6.0，密蘇里州-5.8，馬里蘭州-5.6，威斯康星州-5.6，明尼蘇達(dá)州-5.2，科羅拉多州-4.8，阿拉巴馬州-4.6，南卡羅來(lái)納州-4.3，路易斯安那州-4.3，肯塔基州-4.2，俄勒岡州-3.7，俄克拉荷馬州-3.6，康涅狄格州-3.5，愛荷華州-3.0，密西西比州-2.9，阿肯色州-2.8，堪薩斯州-2.8，猶他州-2.6，內(nèi)華達(dá)州-2.5，新墨西哥州-2.0，西弗吉尼亞州-1.8，內(nèi)布拉斯加州-1.8，愛達(dá)荷州-1.5，緬因州-1.3，新罕布什爾州-1.3，夏威夷-1.3，羅德島-1.1，蒙大拿州-.9，特拉華州-.9，南達(dá)科他州-.8，阿拉斯加-.7，北達(dá)科他州-.6，佛蒙特州-.6，懷俄明州-.5

平均人口為600萬(wàn)。中位人口為425萬(wàn)。該模式是130萬(wàn)?，F(xiàn)在我們將計(jì)算出與上述差異：

• 平均模式=600萬(wàn)–130萬(wàn)=470萬(wàn)。
• 3（平均中位數(shù)）=3（600萬(wàn)–425萬(wàn)）=3（175萬(wàn)）=525萬(wàn)。

雖然這兩個(gè)差異數(shù)字不完全匹配，但它們彼此相對(duì)接近。

應(yīng)用程序

上述公式有幾個(gè)應(yīng)用程序。假設(shè)我們沒有數(shù)據(jù)值列表，但知道平均值，中位數(shù)或模式中的任何兩個(gè)。上述公式可用于估算第三個(gè)未知數(shù)量。

例如，如果我們知道我們的平均值是10，那么一個(gè)月de of 4，我們的數(shù)據(jù)集的中位數(shù)是多少？由于平均模式=3（平均值-中位數(shù)），我們可以說(shuō)10-4=3（10中位數(shù)）。通過(guò)一些代數(shù)，我們看到2=（10中位數(shù)），因此我們數(shù)據(jù)的中位數(shù)為8。

上述公式的另一個(gè)應(yīng)用是計(jì)算偏度。由于偏度測(cè)量平均值和模式之間的差異，我們可以計(jì)算3（平均值-模式）。為了使這個(gè)數(shù)量無(wú)量綱，我們可以將其除以標(biāo)準(zhǔn)偏差，給出一種計(jì)算偏度的替代方法，而不是使用統(tǒng)計(jì)中的矩。

注意事項(xiàng)

如上所述，以上不是確切的關(guān)系。相反，這是一個(gè)很好的經(jīng)驗(yàn)法則，類似于范圍規(guī)則，它在標(biāo)準(zhǔn)偏差和范圍之間建立了近似的聯(lián)系。平均值，中位數(shù)和模式可能不完全符合上述經(jīng)驗(yàn)關(guān)系，但很有可能它會(huì)相當(dāng)接近。